Local behaviour of the second order derivatives of solutions to p-Laplace equations

Abstract We consider the equation $$- \Delta _{p} u = f(x)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> in $$\Omega ,$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> where $$\Delta _{p}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is the p -Laplace operator. We provide $$L^{\infty }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> -type estimates for the second derivatives of solutions when p approaches to 2.