On rigidity of the steady Ericksen-Leslie system

We study solutions, with scaling-invariant bounds, to the steady simplified Ericksen-Leslie system in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R Superscript n Baseline minus StartSet 0 EndSet"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo class="MJX-variant"> ∖ </mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {R}^n\setminus \{0\}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . When <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n equals 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n=2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , we construct and classify a class of self-similar solutions. When <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n greater-than-or-equal-to 3"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n\ge 3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , we establish the rigidity asserting that if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis u comma d right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(u,d)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> satisfies a scaling-invariant bound with a small constant, then <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u identical-to 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo> ≡ </mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u\equiv 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d equals"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">d=</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> constant for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n greater-than-or-equal-to 4"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n\geq 4</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> or <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u"> <mml:semantics> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a Landau solution and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d equals"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">d=</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> constant for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n equals 3"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n=3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Such a smallness condition can be weaken when <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n equals 4"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n=4</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> or the solutions are self-similar.