A counterexample on multiple convergence without commutativity

It is shown that there exists a probability space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper X comma script upper X comma mu right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(X,{\mathcal X},\mu )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , two ergodic measure preserving transformations <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T comma upper S"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T,S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> acting on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper X comma script upper X comma mu right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(X,{\mathcal X},\mu )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h Subscript mu Baseline left-parenthesis upper X comma upper T right-parenthesis equals h Subscript mu Baseline left-parenthesis upper X comma upper S right-parenthesis equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mi> μ </mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mi> μ </mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">h_\mu (X,T)=h_\mu (X,S)=0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f comma g element-of upper L Superscript normal infinity Baseline left-parenthesis upper X comma mu right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f, g \in L^\infty (X,\mu )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that the limit <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="limit Underscript upper N right-arrow normal infinity Endscripts StartFraction 1 Over upper N EndFraction sigma-summation Underscript n equals 0 Overscript upper N minus 1 Endscripts f left-parenthesis upper T Superscript n Baseline x right-parenthesis g left-parenthesis upper S Superscript n Baseline x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:munderover> <mml:mo> ∑ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi