Backward-forward characterization of attainable set for conservation laws with spatially discontinuous flux

Consider a scalar conservation law with a spatially discontinuous flux at a single point x = 0 , and assume that the flux is uniformly convex when x ≠ 0 . Given an interface connection ( A , B ) , we define a backward solution operator consistent with the concept of AB -entropy solution [4] , [16] , [20] . We then analyze the family A [ A B ] ( T ) of profiles that can be attained at time T > 0 by AB -entropy solutions with L ∞ -initial data. We provide a characterization of A [ A B ] ( T ) as fixed points of the backward-forward solution operator. As an intermediate step we establish for the first time a full characterization of A [ A B ] ( T ) in terms of unilateral constraints and Oleı̌nik-type estimates, valid for all connections. Building on such a characterization we derive uniform BV bounds on the flux of AB -entropy solutions, which in turn yield the L loc 1 -Lipschitz continuity in time of these solutions. Considérons une loi de conservation scalaire avec un flux spatialement discontinu en un seul point x = 0 , et supposons que le flux soit uniformément convexe lorsque x ≠ 0 . Étant donnée une connexion d'interface ( A , B ) , nous définissons un opérateur de solution backward cohérent avec le concept de solution AB -entropique [4] , [16] , [20] . Nous analysons ensuite la famille A [ A B ] ( T ) de profils qui peuvent être atteints au temps T > 0 par des solutions AB -entropiques avec des données initiales L ∞ . Nous fournissons une caractérisation de A [ A B ] ( T ) en tant que points fixes de l'opérateur de solution backward-forward . Comme étape intermédiaire, nous établissons pour la première fois une caractérisation complète de A [ A B ] ( T ) en termes de contraintes unilatérales et d'estimations de type Oleı̌nik, valables pour toutes les connexions. En nous appuyant sur une telle caractérisation, nous dérivons des bornes uniformes en BV sur le flux des solutions AB -entropiques, qui à leur tour entraînent la continuité lipschitzienne en temps dans L loc 1 de ces solutions.