Holomorphic unified field theory of gravity and the standard model

Abstract We present a single holomorphic framework in which gravity, all Standard Model interactions, and their couplings to charges and currents emerge from one geometric action on a four-complex dimensional manifold. The Hermitian metric yields, upon restriction to the real slice $$ y^\mu = 0 ,$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> a real symmetric metric $$ g_{(\mu \nu )}(x) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> satisfying the vacuum Einstein’s equations, while its imaginary, antisymmetric part $$ g_{[\mu \nu ]}(x) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> reproduces both the homogeneous and inhomogeneous Maxwell identities with explicit coupling to external four-currents. A single holomorphic gauge connection for a simple group $$ G_{\text {GUT}} $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mtext>GUT</mml:mtext> </mml:msub> </mml:math> such as SU (5) or SO (10) encodes all non-Abelian and Abelian sectors, its Bianchi identities impose the homogeneous Yang–Mills equations, and variation of the same holomorphic action enforces $$\nabla _\mu F^{\mu \nu }_A = J^\nu _A.$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> Chiral fermions are introduced via a holomorphic Dirac Lagrangian that, on $$ y = 0 ,$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> yields exactly the curved-space Dirac equations with minimal coupling to all gauge fields, realizing inclusion of fermions with correct Standard Model charges. Holomorphic gauge invariance automatically imposes the standard anomaly-cancellation conditions. To achieve gauge-coupling unification, we add a holomorphic adjoint Higgs breaking $$G_{\text {GUT}} \rightarrow SU(3) \times SU(2) \times U(1),$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mtext>GUT</mml:mtext> </mml:msub> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> ensuring $$ g_3 = g_2 = g_1 $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> at the unification scale. A second holomorphic Higgs doublet then breaks $$SU(2)_L \times U(1)_Y \rightarrow U(1)_{\text {EM}},$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mtext>EM</mml:mtext> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> generating $$ W^\pm ,$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi>