An extended Vinogradov’s mean value theorem

In this paper, we provide novel mean value estimates for exponential sums related to the extended main conjecture of Vinogradov’s mean value theorem, by developing the Hardy-Littlewood circle method together with a refined shifting variables argument. Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d greater-than-or-equal-to 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">d\geq 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a natural number and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold-italic alpha equals left-parenthesis alpha Subscript d Baseline comma ellipsis comma alpha 1 right-parenthesis element-of double-struck upper R Superscript d"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold-italic"> α </mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi> α </mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo> … </mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi> α </mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\boldsymbol {\alpha }=(\alpha _d,\ldots , \alpha _1)\in \mathbb {R}^d</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Define the exponential sum <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f Subscript d Baseline left-parenthesis bold-italic alpha semicolon upper N right-parenthesis colon-equal sigma-summation Underscript 1 less-than-or-equal-to n less-than-or-equal-to upper N Endscripts e left-parenthesis alpha Subscript d Baseline n Superscript d Baseline plus midline-horizontal-ellipsis plus alpha 1 n right-parenthesis period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="bold-italic"> α </mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≔</mml:mo> <mml:munder> <mml:mo> ∑ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi> α </mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo> ⋯ </mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi> α </mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*} f_d(\boldsymbol {\alpha };N)≔\sum _{1 \leq n \leq N}e(\alpha _d n^d + \cdots + \alpha _1 n). \end{equation*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> For <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p&gt;0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , consider mean values of the exponential sums <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper I Subscript p comma d Baseline left-parenthesis u semicolon upper N right-parenthesis colon-equal integral Underscript left-bracket 0 comma 1 right-parenthesis times left-bracket 0 comma upper N Superscript negative u Baseline right-parenthesis times left-bracket 0 comma 1 right-parenthesis Superscript d minus 2 Baseline Endscripts StartAbsoluteValue f Subscript d Baseline left-parenthesis bold-italic alpha semicolon upper N right-parenthesis EndAbsoluteValue Superscript p Baseline d bold-italic alpha comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">I</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≔</mml:mo> <mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mml:msub> <mml:mo> ∫ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>