Equations involving the modular 𝑗-function and its derivatives

Abstract We show that, for any polynomial <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mi>F</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>X</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mi>Y</m:mi> <m:mn>0</m:mn> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mi>Y</m:mi> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mi>Y</m:mi> <m:mn>2</m:mn> </m:msub> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>∈</m:mo> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">C</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">[</m:mo> <m:mi>X</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mi>Y</m:mi> <m:mn>0</m:mn> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mi>Y</m:mi> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mi>Y</m:mi> <m:mn>2</m:mn> </m:msub> <m:mo stretchy="false">]</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> F(X,Y_{0},Y_{1},Y_{2})\in\mathbb{C}[X,Y_{0},Y_{1},Y_{2}] , the equation <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mi>F</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>z</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mrow> <m:mi>j</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>z</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:mrow> <m:msup> <m:mi>j</m:mi> <m:mo>′</m:mo> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>z</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:mrow> <m:msup> <m:mi>j</m:mi> <m:mo>′′</m:mo> </m:msup> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>z</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> </m:math> F(z,j(z),j^{\prime}(z),j^{\prime\prime}(z))=0 has a Zariski dense set of solutions in the hypersurface <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mi>F</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>X</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mi>Y</m:mi> <m:mn>0</m:mn> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mi>Y</m:mi> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mi>Y</m:mi> <m:mn>2</m:mn> </m:msub> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> </m:math> F(X,Y_{0},Y_{1},Y_{2})=0 , unless 𝐹 is in <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">C</m:mi> <m:mo>⁢</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">[</m:mo> <m:mi>X</m:mi> <m:mo stretchy="false">]</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> \mathbb{C}[X] or it is divisible by <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mi>Y</m:mi> <m:mn>0</m:mn> </m:msub> </m:math> Y_{0} , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>Y</m:mi>