Lipschitz-Free Spaces: A Topometric Approach and Group Actions

Abstract We introduce a topometric version of Lipschitz-free spaces and study its universal property. Another aim of this paper is to investigate actions of topological groups G on Lipschitz-free spaces $${\mathcal {F}}(M)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , induced by isometric actions on pointed metric spaces M . In particular, we study the associated dynamical G -systems under the weak-star topology, focusing on the dual action on $$\textrm{Lip}_0(M) = {\mathcal {F}}(M)^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mtext>Lip</mml:mtext> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> and the bidual $${\mathcal {F}}(M)^{**}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mmultiscripts> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mmultiscripts> </mml:mrow> </mml:math> .