Collision of orbits for families of polynomials defined over fields of positive characteristic

Abstract Let L be a field of positive characteristic p with a fixed algebraic closure $$\overline{L}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> </mml:math> , and let $$\alpha _1,\alpha _2,\beta \in L$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . For an integer $$d\ge 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , we consider the family of polynomials $$f_{\lambda }(z):= z^d+\lambda $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , parameterized by $$\lambda \in \overline{L}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:math> . Define $$C(\alpha _1,\alpha _2;\beta )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> to be the set of all $$\lambda \in \overline{L}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:math> for which there exist $$m,n\in {\mathbb {N}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> such that $$f_{\lambda }^m(\alpha _1)=f_{\lambda }^n(\alpha _2)=\beta $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . In other words, $$C(\alpha _1,\alpha _2;\beta )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub>