Constructive Differential Algebraic Framework for Explicit Analytic Solutions to Nonlinear Partial Differential Equations

本文建立了一个全面的建设性微分代数框架，用于获得大类非线性偏微分方程（PDE）的显式解析解。我们定义并构建了非线性偏微分代数闭包 KNLPDE，这是一种通过递归附加过程构建的微分闭域扩展，该过程结合了线性偏微分方程、多索引根扩展、单位根和特定方程非线性特殊函数的解。在这个闭包中，我们证明了具有解析系数的 n 阶非线性偏微分方程的解，满足柯西-科瓦列夫斯卡娅条件，允许统一表示 u（x） = u0（x） + M −1 m=0 （Φm（c， x）） 1/pm ω km pm ψm（x）。该框架通过多参数同伦延续、自适应非线性基构建和多指数组合校正，严格解决偏微分方程固有的多维和无限维挑战。我们提供完整的建设性证明，推导非线性校正系数的显式组合表达式，建立收敛标准，并通过复杂度分析开发高效的计算算法。该框架在六个基本方程类别上进行了演示：Korteweg-de Vries、非线性薛定谔、爱因斯坦场方程、Monge-Ampère、正弦-戈登和反应-扩散系统，并进行了严格的数值验证，显示残差低于 10 −12 和频谱收敛率。这项工作确定，虽然对于许多非线性偏微分方程来说，初等函数中的闭式解是不可能的，但显式解析解存在于适当扩展和建设性定义的非线性偏微分代数闭包 KNLPDE 中。