Enhanced dissipation, Taylor dispersion, and inviscid damping of Couette flow in the Boussinesq system on the plane

Abstract We consider the quantitative asymptotic stability of the stably stratified Couette flow solution to the 2D fully dissipative nonlinear Boussinesq system on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> with large Richardson number <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , viscosity ν and density dissipation κ . For an initial perturbation <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>in</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>in</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> of size <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>ϵ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> in a low-order anisotropic Sobolev space, for µ roughly <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="true">min</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>κ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:msqrt> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and ν , κ comparable, we demonstrate asymptotic stability with explicit enhanced dissipation and Taylor dispersion rates of decay. We also give inviscid damping estimates on the velocity u and the density θ . This is the first result of its type for the Boussinesq system on the fully unbounded domain <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . We also translate some known linear results from <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> to <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , and we give an alternative theorem for the nonlinear result.