Individual-based stochastic models with allometric dynamics : branching, convergence, numerical simulations

La première partie de ce travail s'attache à la conception et à l'étude d'un modèle individu-centré, structuré en un trait appelé énergie, décrivant une population d'individus consommant une ressource supposée constante au cours du temps. Afin de pouvoir comparer les comportements de différentes espèces vivantes, nous introduisons notamment l'énergie typique d'un individu à la naissance comme paramètre du modèle. Les mécanismes en jeu sont de deux types : des sauts aléatoires correspondant à des événements de naissance et mort ; et une évolution continue et déterministe des énergies individuelles entre ces instants de saut. Les taux de saut du processus dépendent de l'énergie des individus au cours du temps et, bien que notre modèle soit formulé de manière générale, nous nous intéressons en particulier au cas de taux allométriques (i.e. au cas de fonctions de type puissance). Les trajectoires individuelles sont indépendantes conditionnellement à l'état initial de la population, du fait de l'absence de compétition pour la ressource. Nous étudions donc un processus de branchement, et obtenons des conditions nécessaires sur les paramètres allométriques du modèle pour que ce processus soit surcritique, et que les trajectoires individuelles soient biologiquement acceptables (i.e. les énergies individuelles n'explosent pas, ne s'annulent pas, et les individus meurent en temps fini), et ce quelle que soit l'espèce considérée (c'est-à-dire quelle que soit l'énergie typique d'un individu à la naissance). Dans une deuxième partie, nous modifions le modèle précédent en autorisant la ressource à varier au cours du temps, via un terme de renouvellement indépendant de l'état de la population, et un terme de consommation qui correspond à une compétition indirecte entre les individus. Après une étude préliminaire de la bonne définition des objets étudiés, nous considérons une suite de renormalisations du processus sous-jacent, et démontrons un résultat de tension pour les lois associées dans une asymptotique de grande population. Nous caractérisons les valeurs d'adhérence de cette suite comme des solutions d'un système d'équations intégro-différentiel, ce qui démontre au passage l'existence de solutions mesures à ce système. De plus, sous réserve que ce dernier admette une unique solution mesure, notre résultat de tension devient un résultat de convergence en loi vers cet unique processus. La nouveauté de nos résultats réside dans le caractère non-borné des taux de sauts, et nous étudions en particulier le cas allométrique. Dans une dernière partie, nous montrons des résultats complémentaires sur le système d'équations intégro-différentiel décrit dans la deuxième partie. Nous présentons des simulations numériques illustrant notamment le résultat de convergence (sous réserve d'unicité de la solution mesure au système étudié) en grande population de la deuxième partie dans le cas allométrique, et discutons des nombreuses difficultés de mise en œuvre d'un schéma numérique dans le cadre de notre modèle.