Cost of controllability of the linearized equations of fluid mechanics

Cette thèse porte sur la théorie du contrôle d’équations aux dérivées partielles déterministes, en particulier d’équations ou de systèmes d’équations linéaires issus de la mécanique des fluides. Elle se concentre sur deux problématiques différentes. Dans une première partie, on explore la question du contrôle d’états métastables à travers l’étude de deux équations paraboliques scalaires en une dimension d’espace : les équations de Burgers et d’Allen-Cahn. Ces deux équations admettent en effet des états stationnaires, respectivement des chocs et des transitions de phase consécutives, pour lesquels de petites perturbations nécessitent un temps long de retour vers l’équilibre dans le régime de petite diffusion, avec un terme de réaction pris proportionnellement grand dans le cas d’Allen-Cahn. A l’aide d’une analyse détaillée de toutes les valeurs et fonctions propres, on montre que l’on peut néanmoins contrôler les opérateurs linéarisés avec un coût de contrôle uniforme, avec, dans le cas d’Allen-Cahn, une condition sur le support du contrôle, nécessaire et suffisante, de nature géométrique. Dans une seconde partie, on étudie la contrôlabilité de données initiales localisées dans l’espace des phases pour des systèmes différentiels ou pseudo-différentiels de type hyperboliques en plusieurs dimensions d’espace. On montre que dans le régime des hautes fréquences le coût peut être estimé à l’aide d’équations aux dérivées ordinaires, connues sous le nom de systèmes bicaractéristique-amplitude, en suivant l’évolution du tenseur local d’énergie. De plus, on montre qu’en appliquant la méthode d’unicité de Hilbert, on peut construire des contrôles explicites approchés de coût asymptotiquement optimal, à partir du contrôle optimal pour l’EDO associée.