Multiplicative dependence in the denominators of points of elliptic curves

Abstract Let $$E_1, \ldots , E_s $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> be s , not necessary distinct, elliptic curves over $${\mathbb {Q}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Q</mml:mi> </mml:math> . We give upper bounds on the frequency of s -tuples of points in $$E_1({\mathbb {Q}})\times \ldots \times E_s({\mathbb {Q}})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> whose denominators or x -coordinates are multiplicatively dependent. More precisely, we give such bounds in two scenarios: one in which we fix s non-torsion $${\mathbb {Q}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Q</mml:mi> </mml:math> -rational points $$P_i \in E_i({\mathbb {Q}})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and arbitrary $${\mathbb {Q}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Q</mml:mi> </mml:math> -rational points $$Q_i \in E_i({\mathbb {Q}})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , $$i =1, \ldots , s$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , and we count s -tuples $$ (n_1P_1+Q_1,\ldots , n_sP_s+Q_s) \in E_1({\mathbb {Q}}) \times \ldots \times E_s({\mathbb {Q}}) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi>