Asymptotic Behavior of Solutions to a Doubly Weighted Quasi-linear Equation

We establish pointwise asymptotic estimates at infinity for solutions to the doubly weighted quasi-linear equation: <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true" rowspacing="3pt"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">div</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal">∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow/> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mtd> <mml:mtd/> <mml:mtd> <mml:mtext>in </mml:mtext> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow/> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> are compatible weights and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> is a critical exponent in the sense of Sobolev.