Multiplicity and concentration behavior of solutions for the generalized quasilinear Schrödinger equation with critical growth

Abstract In this study, we are interested in multiplicity results for positive solutions of the generalized quasilinear Schrödinger equations with critical growth <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mi>div</m:mi> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>g</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>∇</m:mo> </m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>g</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>g</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo accent="true">′</m:mo> </m:mrow> </m:msup> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> <m:mrow> <m:mo>∇</m:mo> </m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>∣</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>V</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>ε</m:mi> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>∣</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>α</m:mi> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>Q</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>ε</m:mi> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>∣</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>α</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>*</m:mo> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mspace width="1.0em"/> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">R</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>N</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:math> -\mathrm{div}({g}^{2}\left(u)\nabla u)+g\left(u){g}^{^{\prime} }\left(u){| \nabla u| }^{2}+V\left(\varepsilon x)u={| u| }^{\alpha p-2}u+Q\left(\varepsilon x){| u| }^{\alpha {2}^{* }-2}u,\hspace{1.0em}x\in {{\mathbb{R}}}^{N}, where <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>g</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>C</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">R</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">R</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>+</m:mo> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> g\in {C}^{1}\left({\mathbb{R}},{{\mathbb{R}}}^{+}) , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>α</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:mrow> <m:mo>[</m:mo> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> <m:mo form="prefix">,</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> <m:mo>]</m:mo> </m:mrow> </m:math> \alpha \in \left[1,2] , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mn>2</m:mn> <m:mo>&lt;</m:mo> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>&lt;</