Finite volume methods on unstructured meshes for the microscopic bidomain model in cardiac electrophysiology

Ce manuscrit est dédié au développement et à l’analyse numérique du modèle bidomaine cellulaire de l’électrophysiologie cardiaque à l’échelle microscopique, en utilisant des méthodes de volumes finis (MVF) sur des maillages non structurés. Ce modèle, connu sous le nom de modèle Extracellulaire-Membrane-Intracellulaire (EMI), repose sur des équations de réaction-diffusion couplé à des conditions de transmission non standards et dépendantes du temps. La dynamique du modèle est définie exclusivement aux interfaces des cardiomyocytes, où le potentiel électrique subit des sauts et le flux de courant est continu, ce qui fait des MVF une approche appropriée pour résoudre le modèle EMI. Cependant, ce modèle introduit divers défis mathématiques et numériques, du fait de sa formulation parabolique dégénéré, d’une hétérogénéité forte, d’une raideur sévère due à la dynamique ionique non linéaire, d’un coût de calcul élevé, et enfin d’une géométrie complexe nécessitant des techniques avancées de génération de maillages. Des méthodes d’éléments finis (MEF), de différences finies (MDF) et d’éléments de frontière (BEM) ont été utilisées pur ce modèle, mais l’approche par MVF n’ont pas encore été explorées. Ce travail représente donc une première étape vers le développement d’une MVF robuste et performant pour le modèle EMI, garantissant une précision et efficacité numérique, notamment en terme d’ordre de convergence, de symétrie du système linéaire et des stencils réduits. L’avantage des MVF réside dans leur capacité à générer deux formulations: un grand système creux, similaire à ceux des MEF, et un système plus réduit défini uniquement aux interfaces des sous-domaines, semblable à BEM. Cette dernière, réduit considérablement le nombre de degrés de liberté et donc le coût de calcul. En premier lieu, une analyse mathématique rigoureuse du modèle EMI avec des conditions aux limites mixtes non homogènes de Dirichlet et de Neumann a été réalisée, en utilisant un large ensemble d’outils d’analyse fonctionnelle. En second lieu, une revue des MVF et des approches numériques en cardiologie, a été effectuée afin de mettre en évidence l’originalité de ce travail. En raison du coefficient de diffusion isotrope, nous avons développé un schéma TPFA pour le modèle EMI, combiné avec des méthodes de type FBE et SBDF2, ainsi que les méthodes de Rush-Larsen pour l’intégration temporelle. Un défis majeurs du travail a été la construction d’un maillage admissible pour le schéma TPFA, ce qui a nécessité le développement des outils numériques pour maintenir l’orthogonalité dans les géométries utilisées. Une analyse de convergence a été menée en établissant des estimations d’erreur a priori avec diverses hypothèses de régularité sur les données, et les expériences numériques ont validé les taux de convergence théoriques dans un cadre bidimensionnel. Une fois la précision des schémas évaluée, le modèle EMI a été étudié plus en détail, en examinant les effets des paramètres de discretisation et du modèle sur la propagation des ondes électriques, la vitesse de conduction et le temps d’activation. En raison des contraintes liées aux géométries complexes et aux cas de trois dimensions (cardiomyocytes réalistes), nous avons développé et étudié un schéma hybride SUSHI pour le modèle EMI. Ce schéma permet d’approcher la solution en utilisant les valeurs sur les cellules et les faces internes, offrant des avantages pour les simulations de EMI dans des scénarios complexes, augmentant le coût computationnel tout en maintenant la consistance des flux sur les interfaces hétérogènes. Cependant, pour des raisons de rentabilité, un schéma symétrique proche d’un schéma centré sur les cellules semble plus adapté. Le schéma "SUSHI-NP" (non paramétrique), qui conserve les inconnues des faces uniquement aux interfaces hétérogènes, représente une solution prometteuse, pour réduire les coûts des calculs tout en préservant la consistence et la précision.