Multifractal Analysis and Statistical study of wavelet leaders : Applications to Mathematical Models and Physiological Data

Les signaux partout irréguliers sont omniprésents dans la nature et les technologies. L'analyse multifractale est apparue comme un cadre puissant pour analyser de telles données. Elle vise à identifier et classifier les différents type de singularités d'une fonction, et à estimer la taille des ensembles où ces singularités apparaissent. Ce domaine est issu de l'article fondateur d'U. Frisch et G. Parisi en 1985, qui proposait une relation entre la fonction d'échelle de Kolmogorov et les dimension fractales des singularités ponctuelles des données (spectre multifractal). Cette relation a ensuite été reformulée à l'aide des décompositions en ondelettes afin d'obtenir des résultats mathématiques précis concernant la validité de cette méthode.La thèse porte sur plusieurs questions théoriques et appliquées autour de l'analyse multifractale basée sur les coefficients sur des bases orthonormée d'ondelettes:- Etude des propriétés de l'exposant d'échelle faible introduit par Yves Meyer, qui permet de s'affranchir de toute hypothèse de régularité globale sur les donnée et donc de ne pas effectuer une régularisation préalable du signal par intégration.- Validation de ce nouveau formalisme multifractal sur différents modèles mathématiques et utilisation pour l'étude de données physiologiques captées sur des marathoniens et comparaison avec le formalisme multifractal basé sur les p-leaders. Analyse multifractale conjointe (analyse multifractale multivariée) de plusieurs signaux physiologiques de naturedifférente captés simultanément).-Etude théorique et numérique de la loi des "coefficients dominants'', qui sont des sup locaux de coefficients d'ondelettes et constituent les quantités multirésolution utilisées pour réaliser une analyse multifractale adaptée à l'exposant de Hölder ponctuel. Le but de cette étude est double: il s'agit d'une part d'étudier la validité de l'hypothèse de lognormalité des coefficients nécessaire à la mise en oeuvre des méthodes bayesiennes d'estimation de spectres multifractals, et c'est par ailleurs un prérequis pour élaborer des barres d'erreur nécessaires à l'obtention de résultats de classification basés sur des paramètres de nature multifractale. Cette étude conduit à proposer un modèle plus général, basé sur des distributions log-concaves, qui est validé numériquement, tant sur des modèles mathématiques que sur des données expérimentales.- Obtention de modules de continuité globaux et locaux précis sur le modèle des séries aléatoires d'ondelettes en abandonnant l'hypothèse d'indépendance des coefficients d'ondelettes correspondant à des échelles différentes. On considère en particulier le cas important dans les applications où la loi des coefficients d'ondelettes est un mélange de gaussiennes généralisées.