A new variational wave-function ansatz for confined two-electron atomic systems

Abstract In this paper, we propose a simple variational ansatz, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Ψ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>sin</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">c</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mfrac> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mfrac> </mml:mstyle> <mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>sin</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">c</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mfrac> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mfrac> </mml:mstyle> <mml:mi>exp</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>cosh</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>cosh</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>0.5</mml:mn> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>12</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>exp</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>12</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> to study confined two-electron atomic systems. Here, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>12</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub>