Some Properties of the Generalized Foulkes Module

Abstract Describing the decomposition of the Foulkes module $$F_b^a$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> into irreducible Specht modules is an open problem when both $$a,b &gt; 3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . In this article we provide a new approach for the Generalized Foulkes module $$F_{\nu }^a$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> (with arbitrary partition $$\nu $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:math> of b ) through its restriction to a maximal Young subgroup $${S_b \times S_{ab -b}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> .