Profinite groups with many elements with large nilpotentizer and generalizations

Abstract Given a profinite group G and a family $$\mathcal {F}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:math> of finite groups closed under taking subgroups, direct products and quotients, denote by $$\mathcal {F}(G)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> the set of elements $$g \in G$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> such that $$\{x \in G\ |\ \langle g,x \rangle \ \text{ is } \text{ a } \text{ pro- }\mathcal {F} \text{ group }\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mo>⟨</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>⟩</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mtext>is</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mtext>a</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mtext>pro-</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mtext>group</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> has positive Haar measure. We investigate the properties of $$\mathcal {F}(G)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> for various choices of $$\mathcal {F}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:math> and the influence of $$\mathcal {F}(G)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> on the structure of G when $$\mu (\mathcal F(G))&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> .