Gradient regularity for widely degenerate elliptic partial differential equations

In this paper, we investigate the regularity of weak solutions <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow> </mml:math> to elliptic equations of the type <DispFormula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd><mml:mrow><mml:mtext>div</mml:mtext> <mml:mspace></mml:mspace> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mspace></mml:mspace> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace></mml:mspace> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> </DispFormula> whose ellipticity degenerates in a fixed bounded and convex set <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi></mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mtext>Int</mml:mtext> <mml:mspace></mml:mspace> <mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow> </mml:math> . Here, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi></mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> denotes a bounded domain, and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi></mml:msup> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msub><mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> is a function with the properties: for any <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi></mml:mrow> </mml:math> , the mapping <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>↦</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> is regular outside <i>E</i> and vanishes entirely within this set. Additionally, we assume <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup><mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> for some <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow> </mml:math> , representing an arbitrary datum. Our main result establishes the regularity <DispFormula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup><mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn></mml:msup> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> </DispFormula> for any continuous function <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup><mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn></mml:msup> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi></mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> vanishing on <i>E</i>.