The $\mathcal{W}$-algebra bootstrap of 6d $\mathcal{N}=(2,0)$ theories

6d (2,0) SCFTs of type \mathfrak{g} <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mstyle mathvariant="fraktur"> <mml:mi>𝔤</mml:mi> </mml:mstyle> </mml:math> have protected subsectors that were conjectured in [C. Beem et al., J. High Energy Phys. 05, 017 (2015)] to be captured by \mathcal{W}_\mathfrak{g} <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:msub> <mml:mstyle mathvariant="script"> <mml:mi>𝒲</mml:mi> </mml:mstyle> <mml:mstyle mathvariant="fraktur"> <mml:mi>𝔤</mml:mi> </mml:mstyle> </mml:msub> </mml:math> algebras. We write down the crossing equations for mixed four-point functions \langle S_{k_1} S_{k_2}S_{k_3}S_{k_4}\rangle <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">⟨</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false" form="postfix">⟩</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> of 1/2-BPS operators S_{k_i} <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> </mml:math> in 6d (2,0) theories and detail how a certain twist reduces this system to a 2d meromorphic CFT multi-correlator bootstrap problem. We identify the relevant 6d (2,0) \mathcal{W} <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mstyle mathvariant="script"> <mml:mi>𝒲</mml:mi> </mml:mstyle> </mml:math> -algebras of type \mathfrak{g} = \{A_{N-1},D_N\} <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mrow> <mml:mstyle mathvariant="fraktur"> <mml:mi>𝔤</mml:mi> </mml:mstyle> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false" form="postfix">}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> as truncations of \mathcal{W}_{1+∞} <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:msub> <mml:mstyle mathvariant="script"> <mml:mi>𝒲</mml:mi> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> and solve OPE associativity conditions for their structure constants, both using OPEdefs and the holomorphic bootstrap of [M. Headrick et al., J. High Energy Phys. 07, 059 (2015)]. With this, we solve the multi-correlator bootstrap for twisted 6d four-point correlators \mathcal{F}_{k_1k_2k_3k_4} <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:msub> <mml:mstyle mathvariant="script"> <mml:mi>ℱ</mml:mi> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> involving all S_{k_i} <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> </mml:math> up to \{k_i\}=4 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false" form="pr