A Result of Multiplicity of Nontrivial Solutions to an Elliptic Kirchhoff–Boussinesq Equation Type in RN

In this work, using Ljusternik–Schnirelman category theory, we study the existence and multiplicity of nontrivial solutions for the following class of elliptic Kirchhoff–Boussinesq type problems given by <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" overflow="scroll"> <mml:mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true" rowspacing="3pt"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>ε</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>±</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>ε</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>*</mml:mo> <mml:mo>*</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mtext>in </mml:mtext> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo>ε</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>*</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>*</mml:mo> <mml:mo>*</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is a continuous function and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is a function of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> class. We consider the subcritical case, that is, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:math> and critical case, that is, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> .