On the pointwise Ohsawa–Takegoshi theorem

Abstract For plurisubharmonic $$\varphi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>φ</mml:mi> </mml:math> in a bounded pseudoconvex $$\Omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> in $$\mathbb C^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> , we analyze the lower bound for the Bergman kernel (on the diagonal, with weight $$e^{-\varphi }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>φ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> ) of the form $$K_{\Omega ,\varphi }\ge e^{\varphi }/C$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>φ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mi>φ</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . By the Ohsawa–Takegoshi extension theorem, there exists such a constant depending on n and the diameter of $$\Omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> . We give a proof of this using Hörmander’s $$L^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> estimate for $$\bar{\partial }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mover> </mml:math> directly. We also show that one can improve the constant to $$C=|\Omega |$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> if $$n=1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and to $$C=2\,|\Omega |$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mspace/> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> if $$\Omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> is convex, where $$|\Omega |$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> denotes the volume (or area) of $$\Omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> . We conjecture that the former holds in arbitrary dimension (it trivially does in the unweighted case).