The effectiveness of the energy method for the numerical-analytical solution of a mixed problem of elasticity theory

Рассмотрен процесс построения численно-аналитического решения основной смешанной краевой задачи статической теории упругости (ТУ). Определяющим соотношениям линейной однородной изотропной упругой среды эквивалентна система трех разрешающих уравнений Ламе, каждое — линейное второго порядка относительно частных производных. Средствами энергетического метода граничных состояний (МГС) с помощью разложения искомого состояния в ряд Фурье по элементам сепарабельного базиса гильбертова пространства состояний краевая задача математической физики приводится к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Построение базиса опирается на вариант общего решения системы уравнений эллиптического типа. Каждое базисное состояние создается посредством использования гармонических многочленов. Ортогонализация проводится алгоритмом Грама–Шмидта. Граничные условия (ГУ) основной смешанной задачи предполагают разбиение границы тела на два класса. На одной части границы заданы перемещения точек, на оставшейся — поверхностные усилия. СЛАУ содержит информацию как о содержимом базиса (матрица коэффициентов), так и о значениях характеристик ГУ (вектор правых частей). Точность решения оценивается двумя факторами: 1) неравенство Бесселя; 2) интегральная квадратичная невязка восстановленного граничного состояния с ГУ. Использование обоих факторов приводит к эффекту самодостаточности МГС: нет необходимости в сопоставлении пробных решений с эталонными, построенными иными методами. Выполнены конкретные расчеты для двух классов смешанных задач: 1) ограниченное двуполостное тело (шар с двумя симметрично расположенными сферическими полостями. Задано жесткое встречное смещение поверхностей полостей, внешняя граница тела свободна от нагрузки; 2) упругий круговой цилиндр закреплен с жестким штоком по части одного основания. Боковая поверхность нагружена касательными усилиями, направленными вдоль оси цилиндра. Во второй задаче испытывается сингулярный скачок характеристик граничного состояния по линии раздела ГУ, принадлежащей границе тела. Построены численно-аналитические решения обеих задач, проиллюстрированы поля характеристик НДС тела, выполнены комментарии состояний и сделаны выводы.