Limiting Behavior of Determinantal Point Processes Associated with Weighted Bergman Kernels

Abstract Let $$\Omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> be a bounded pseudoconvex domain in $${\mathbb {C}}^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> , and let $$\phi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ϕ</mml:mi> </mml:math> be a strictly plurisubharmonic function on $$\Omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> . For each $$k\in {\mathbb {N}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , we consider determinantal point process $$\Lambda _k$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Λ</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> with kernel $$K_{k\phi }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>ϕ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> , where $$K_{k\phi }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>ϕ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> is the reproducing kernel of infinite dimensional weighted Bergman space $$H(k\phi )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> with weight $$e^{-k\phi }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>ϕ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> . We show that the scaled cumulant generating function for $$\Lambda _k$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Λ</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> converges as $$k\rightarrow \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> to a certain limit, which can be explicitly expressed in terms of $$\phi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ϕ</mml:mi> </mml:math> and a test function u . Note that we need to restrict the class of test function u to those that are $$\phi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ϕ</mml:mi> </mml:math> -admissible, which amounts to imposing a positivity condition on their complex Hessians.