Open filters and measurable cardinals

In this paper, we investigate the poset <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>OF</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> of free open filters on a given space <i>X</i>. In particular, we characterize spaces for which <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>OF</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> is a lattice. For each <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow> </mml:math> we construct a scattered space <i>X</i> such that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>OF</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> is order isomorphic to the <i>n</i>-element chain, which implies the affirmative answer to two questions of Mooney. Assuming CH we construct a scattered space <i>X</i> such that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>OF</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> is order isomorphic to <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> . To prove the latter facts we introduce and investigate a new stratification of ultrafilters which depends on scattered subspaces of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>κ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> . Assuming the existence of <i>n</i> measurable cardinals, for every <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn></mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub><mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi></mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow> </mml:math> we construct a space <i>X</i> such that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>OF</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> is order isomorphic to <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo>∏</mml:mo> <mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi></mml:msubsup> <mml:msub><mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi></mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> . Also, we show that the existence of a metric space possessing a free <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn></mml:msub> </mml:math> -complete closed, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>δ</mml:mi></mml:msub> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>σ</mml:mi></mml:msub> </mml:math> or Borel ultrafilter is equivalent to the existence of a measurable cardinal.