Boundedness, ultracontractive bounds and optimal evolution of the support for doubly nonlinear anisotropic diffusion

Abstract We investigate some regularity properties of a class of doubly nonlinear anisotropic evolution equations whose model case is $$\begin{aligned} \partial _t \big (|u|^{\alpha -1}u \big ) - \sum ^N_{i=1} \partial _i \big ( |\partial _i u|^{p_i - 2} \partial _i u \big ) = 0, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where $$\alpha &gt; 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and $$p_i \in (1, \infty )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . We obtain super and ultracontractive bounds, and global boundedness in space for solutions to the Cauchy problem with initial data in $$L^{\alpha +1}(\mathbb {R}^N)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , and show that the mass is nonincreasing over time. As a consequence, compactly supported evolution is shown for optimal exponents. We introduce a seemingly new paradigm, by showing that Caccioppoli estimates, local boundedness and semicontinuity are consequences of the membership to a suitable energy class. This membership is proved by first establishing the continuity of the map $$t \mapsto |u|^{\alpha -1}u(\cdot ,t) \in L^{1+1/\alpha }_{\text {loc}}(\Omega )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>↦</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mtext>loc</mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> permitting us to use a suitable mollified weak formulation along with an appropriate test function.