Constraining Magnetar Parameters by Taking into Account the Evolutionary Effects of Radius and Moment of Inertia with Swift/XRT Data

Abstract A newly born millisecond magnetar has been proposed as one possible central engine of some gamma-ray bursts (GRBs) with X-ray plateau emission. In this work, we systematically analyzed the Swift/X-Ray Telescope data of long GRBs with plateau emission that were detected before 2023 December, estimated the physical parameters of the magnetar by considering the R / I evolutionary effects, and investigated possible relationships among these parameters and their relation to the GRB jet and magnetar wind radiation. We found that neglecting the evolutionary effects of R / I can lead to systematic overestimation or underestimation of magnetar physical parameters such as magnetic field strength ( B p ), spin period ( P 0 ), and ellipticity ( ϵ ) from 20% to 50%. We also found that the correlations among different magnetar parameters can be approximately expressed as <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>ϵ</mml:mi> <mml:mo>∝</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1.57</mml:mn> <mml:mo>±</mml:mo> <mml:mn>0.22</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>ϵ</mml:mi> <mml:mo>∝</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>0.97</mml:mn> <mml:mo>±</mml:mo> <mml:mn>0.13</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> , and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>∝</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1.30</mml:mn> <mml:mo>±</mml:mo> <mml:mn>0.16</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> for our selected equation of states (EoSs), with the 1 σ deviation included. The correlations between the GRB jet emission and the magnetar wind emission can be approximately described as <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">wind</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>∝</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">jet</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">iso</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>0.83</mml:mn> <mml:mo>±</mml:mo> <mml:mn>0.07</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">jet</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>0.76</mml:mn> <mml:mo>±</mml:mo> <mml:mn>0.06</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>∝</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">jet</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">iso</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>0.29</mml:mn> <mml:mo>±</mml:mo> <mml:mn>0.03</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">jet</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>0.26</mml:mn> <mml:mo>±</mml:mo> <mml:mn>0.02</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>∝</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">jet</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">iso</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>0.58</mml:mn> <mml:mo>±</mml:mo> <mml:mn>0.06</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup>