The Lang-Trotter conjecture on average for genus-2 curves with Klein-4 reduced automorphism group

Abstract For an elliptic curve E over $$\mathbb {Q}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Q</mml:mi> </mml:math> without complex multiplication, the Lang–Trotter conjecture is that $$ \# \{ p&lt;X \mid E \text { has a supersingular reduction at } p \} \sim \frac{c \sqrt{X}}{\log X} $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>#</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>∣</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>has</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>supersingular</mml:mi> <mml:mi>reduction</mml:mi> <mml:mi>at</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∼</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:msqrt> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:msqrt> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> as $$X \rightarrow \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , where $$c&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> is a constant depending only on E . Fouvry and Murty obtained an average estimation related to the Lang–Trotter conjecture, called the Lang–Trotter conjecture on average. We consider the Lang–Trotter conjecture for curves of genus 2 and obtain a similar result to the Lang–Trotter conjecture on average for the family of curves $$C_{\lambda }:y^2=x(x-1)(x+1)(x-{\lambda })(x-1/ \lambda )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . These curves are characterized as curves of genus two with a reduced automorphism group containing the Klein 4-group.