Anomalous current fluctuations and mobility-driven clustering

Abstract We study steady-state current fluctuations in hardcore lattice gases on a one-dimensional ring of L sites, where N particles perform symmetric, extended-ranged hopping, with the hop length being a random variable depending on a length scale l 0 (hopping range) and the inter-particle gap. Notably, the systems have mass-conserving dynamics with global density <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> fixed, but violate detailed balance. We consider two analytically tractable cases: (i) l 0 = 2 (finite-ranged) and (ii) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> (infinite-ranged); in the latter case, the system undergoes a clustering or condensation transition below a critical density <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">c</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> . In the steady state, we calculate, exactly within a closure scheme, the variance <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⟨</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⟩</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⟨</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⟩</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⟨</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msup> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⟩</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> of cumulative (time-integrated) current Q ( T ) across a bond <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and in a time interval <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . We show that, when <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo accent="false" stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , the scaled variance of time-integrated bond current or, equivalently, the mobility, diverges at the critical density. That is, near criticality, the mobility <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munder> <mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo accent="false" stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:munder> <mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo accent="false" stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⟨</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">⟩</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo>∼</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">c</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>