Complete $$(k,q+1)$$-arcs in $$\textrm{PG}(2,\mathbb {F}_{q^6})$$ from the Hermitian curve

Abstract We prove that, if q is large enough, the set of the $$\mathbb {F}_{q^6}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:msup> </mml:msub> </mml:math> -rational points of the Hermitian curve is a complete $$(q^6+q^5-q^4+1,q+1)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> -arc in $$\textrm{PG}(2,\mathbb {F}_{q^6})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>PG</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:msup> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , addressing an open case from a recent paper by Korchmáros et al. (J Comb Theory Ser A 204:105851, 2024). An algebraic approach based on the investigation of some algebraic varieties attached to the arc is used.