Approximate Peregrine Solitons in Dispersive Nonlinear Wave Equations

Abstract The purpose of this short note is to explain how the existing results on the validity of the NLS approximation can be extended from Sobolev spaces $$ H^s({\mathbb {R}}) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> to the spaces of functions $$ u = v + w $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> where $$ v \in H_{{per}}^s $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>per</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> and $$ w \in H^s({\mathbb {R}}) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . This allows us to use the Peregrine solution of the NLS equation to find freak or rogue wave dynamics in more complicated systems.