An efficient method for the solution of joint transient response PDF of high-dimension strongly nonlinear systems under random excitation

实际的工程结构可能因遭受强烈的非线性随机振动而发生失效, 但现有的理论和方法仍远未满足实际需求, 尤其对高维强非线性系统. 此外, 系统在达到稳态之前通常会经历较长时间的瞬态阶段, 此阶段系统就可能失效. 因此, 开展高维强非线性系统的瞬态响应分析具有重要意义. 到目前为止, 描述这类系统概率响应的经典理论仍然是Fokker–Planck-Kolmogorov(FPK)方程. 然而, 随着方程维数的增加, 求解此方程有限差分和有限元等网格依赖型数值方法因为维数灾难, 求解效率很快降低, 甚至无法求解. 本文结合FPK方程降维策略, 提出一种无网格求解技术, 高效求解多维瞬态FPK方程(本文算例最高为5维). 具体而言, 利用子空间分解法, 对高维FPK方程进行降维. 随后, 结合物理与数据驱动的策略, 基于少量确定性分析的先验数据, 采用连续时间的径向基神经网络对复杂形状的时变等价漂移系数和扩散系数进行估计, 并基于短时高斯假设对具有奇异性的初始条件进行处理. 最后, 利用无网格的物理信息径向基神经网络结合超球体采样策略, 求解降维瞬态FPK方程, 获得感兴趣物理量的非高斯联合概率密度函数(probability density function, PDF). 通过两个高维非线性系统的数值算例, 并与蒙特卡罗模拟(Monte Carlo simulation, MCS)结果对比, 验证了所提方法的精度和效率. 结果表明, 仅需400次左右的确定性分析, 所提方法就能准确高效地捕捉到降维方程各个时刻响应的联合PDF, 其尾部精度达10-4量级, 求解效率可达到MCS的3700倍.