Lyapunov exponent for quantum graphs coded as elements of a subshift of finite type

Abstract We consider the Schrödinger operator on the quantum graph whose edges connect the points of $${{\mathbb {Z}}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Z</mml:mi> </mml:math> . The numbers of the edges connecting two consecutive points n and $$n+1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> are read along the orbits of a shift of finite type. We prove that the Lyapunov exponent is potitive for energies E that do not belong to a discrete subset of $$[0,\infty )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . The number of points E of this subset in $$[(\pi (j-1))^2, (\pi j)^2]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is the same for all $$j\in {{\mathbb {N}}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> .