The connective KO-theory of the Eilenberg–MacLane space $$K({\mathbb Z}_2,2)$$, I: the $$E_2$$ page

Abstract We compute the $$E_2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> page of the Adams spectral sequence converging to the connective KO -theory of the second mod 2 Eilenberg–MacLane space, $$ko_*(K({\mathbb Z}_2,2))$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>o</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow/> </mml:mmultiscripts> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , where $${\mathbb Z}_2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> is the cyclic group of order 2. This required a careful analysis of the structure of $$H^*(K({\mathbb Z}_2,2);{\mathbb Z}_2)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> as a module over the subalgebra of the Steenrod algebra generated by $$\operatorname {Sq}^1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mo>Sq</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> and $$\operatorname {Sq}^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mo>Sq</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> . Complete analysis of the spectral sequence is performed in [8].