Słupecki digraphs

Abstract Call a finite relational structure k-Słupecki if its only surjective k -ary polymorphisms are essentially unary, and Słupecki if it is k -Słupecki for all $$k \ge 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . We present conditions, some necessary and some sufficient, for a reflexive digraph to be Słupecki. We prove that all digraphs that triangulate a 1-sphere are Słupecki, as are all the ordinal sums $$m \oplus n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>⊕</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> ( $$m,n \ge 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> ). We prove that the posets $$\mathbb {P}= m \oplus n \oplus k$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>⊕</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>⊕</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> are not 3-Słupecki for $$m,n,k \ge 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , and prove there is a bound B ( m , k ) such that $$\mathbb {P}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:math> is 2-Słupecki if and only if $$n &gt; B(m,k)+1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> ; in particular there exist posets that are 2-Słupecki but not 3-Słupecki.