Compatibility of canonical $\ell $-adic local systems on adjoint Shimura varieties

Abstract For a Shimura variety $(G, X)$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:math> in the superrigid regime and neat level subgroup $K_{0}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> , we show that the canonical family of $\ell $ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:math> -adic representations associated to a number field point $y \in \mathrm{Sh}_{K_{0}}(G, X)(F)$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Sh</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:math> , $$ \left \{ \rho _{y, \ell } \colon \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/F) \to G^{\mathrm{ad}}(\mathbb{Q}_{\ell }) \right \} _{\ell }, $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>Gal</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>‾</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>ad</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:math> form a compatible system of $G^{\mathrm{ad}}(\mathbb{Q}_{\ell })$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>ad</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:math> -representations: there is an integer $N(y)$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:math> such that for all $\ell $ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:math> , $\rho _{y, \ell }$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> is unramified away from $N(y) \ell $ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:math> , and for all $\ell \neq \ell '$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> and $v \nmid N(y)\ell \ell '$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>∤</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> , the semisimple parts of the conjugacy classes of $\rho _{y, \ell }(\mathrm{Frob}_{v})$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Frob</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:math> and $\rho _{y, \ell '}(\mathrm{Frob}_{v})$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Frob</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:math> are (ℚ-rational and) equal. We deduce this from a stronger compatibility result for the canonical $G(\mathbb{Q}_{\ell })$