Integral aspects of Fourier duality for abelian varieties

Abstract We prove several results about integral versions of Fourier duality for abelian schemes, making use of Pappas’s results on an integral version of Grothendieck–Riemann–Roch. If S is smooth quasi-projective of dimension d over a field and $$\pi :X\rightarrow S$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is a g -dimensional abelian scheme, we prove, under very mild assumptions on X / S , that all classical results about Fourier duality, including the existence of a Beauville decomposition, are valid for the Chow ring $$\textrm{CH}(X;\Lambda )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>CH</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>Λ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> with coefficients in the ring $$\Lambda = \mathbb {Z}[1/(2g+d+1)!]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Λ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>!</mml:mo> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . If X admits a polarization $$\theta $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>θ</mml:mi> </mml:math> of degree $$\nu (\theta )^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> we further construct an $$\mathfrak {sl}_2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>sl</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> -action on $$\textrm{CH}(X;\Lambda _\theta )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>CH</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Λ</mml:mi> <mml:mi>θ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> with $$\Lambda _\theta = \Lambda [1/\nu (\theta )]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Λ</mml:mi> <mml:mi>θ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Λ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , and we show that $$\textrm{CH}(X;\Lambda _\theta )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>CH</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Λ</mml:mi> <mml:mi>θ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is a sum of copies of the symmetric powers $$\textrm{Sym}^n(\textrm{St})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mtext>Sym</mml:mtext> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mtext>St</mml:mtext> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> of the 2-dimensional standard representation, for $$n=0,\ldots ,g$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi>