FEM: linear advection and Hermite elements. Part I. Systems of the difference schemes

The author dedicates this paper to Academician Yurii Ivanovich Shokin who over the past fifty five years has developed the theory of the modified partial differential equation (MDE) for the constant-wind-speed advection equation, advection-diffusion equation and for scalar hyperbolic conservation laws. Shokin, Yanenko and Vorozh tsov present a very precise approach to this problem. These scientists call the modified partial differential equation: Γ- and Π-form of the first differential approximation or Γ- and Π-form of the differential representation of the difference scheme. In the case of hyperbolic equations, the Π-form indicates the value of the Courant number of the separated dissipative or dispersive difference schemes. It also leads to the definition cri terion of the stability of the difference method. In the monograph Shokin, Yanenko and Vorozhtsov stability criteria and examples of the abbreviated forms of MDE difference schemes, most popular in the mid-1980s are presernted in the tabular form. Автор посвящает эту статью академику Юрию Ивановичу Шокину, который за последние пятьдесят пять лет разработал теорию модифицированного уравнения в частных производных (MDE) для уравнения адвекции с постоянной скоростью ветра, уравнения адвекции-диффузии и для скалярных гиперболических законов сохранения. Шокин, Яненко и Ворожцов представляют очень точный подход к этой проблеме. Эти ученые называют модифицированное уравнение в частных производных Γ- и Π-формой первого дифференциального приближения или Γ- и Π-формой дифференциального представления разностной схемы. В случае уравнений гиперболического типа форма Π указывает на значение числа Куранта разделенных диссипативных или дисперсионных разностных схем. Она также приводит к определению критерия устойчивости разностного метода. В монографиях Шокина, Яненко и Ворожцова в табличной форме представлены критерии устойчивости и примеры сокращенных форм MDE разностных схем, наиболее популярных в середине 1980-х гг.