On circle actions with exactly three fixed points

Abstract We study smooth, closed orientable $$S^1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> -manifolds $$M$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:math> with exactly $$3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> fixed points. We show that the dimension of $$M$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:math> is of the form $$4\cdot 2^a$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> or $$8\cdot (2^a+2^b)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> with $$a,b\ge 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and $$a\ne b$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . Moreover, under the extra assumption that $$M$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:math> is spin or unitary, we determine exactly the possible dimensions of M.