Red noise in continuous-time stochastic modelling

The concept of time-correlated noise is important to applied stochastic modelling. Nevertheless, there is no generally agreed-upon definition of the term red noise in continuous-time stochastic modelling settings. We present here a rigorous argumentation for the Ornstein-Uhlenbeck process integrated against time ( <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:msub><mml:mi>U</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi></mml:msub> <mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow> </mml:math> ) as a uniquely appropriate red noise implementation. We also identify the term <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow> <mml:msub><mml:mi>U</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi></mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> as an erroneous formulation of red noise commonly found in the applied literature. To this end, we prove a theorem linking properties of the power spectral density (PSD) to classes of Itô-differentials. The commonly ascribed red noise attribute of a PSD decaying as <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>∼</mml:mo></mml:mrow> <mml:mrow><mml:msup><mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> restricts the range of possible Itô-differentials <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow> <mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi></mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow> <mml:mrow><mml:msub><mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi></mml:msub> <mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow> <mml:mrow><mml:msub><mml:mi>β</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi></mml:msub> <mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow> <mml:msub><mml:mi>W</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi></mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> . In particular, any such differential with continuous, square-integrable integrands must have a vanishing martingale part, i.e. <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow> <mml:msub><mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi></mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow> <mml:mrow><mml:msub><mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi></mml:msub> <mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow> </mml:math> for almost all <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow> </mml:math> . We further point out that taking <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub><mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi></mml:msub> <mml:msub><mml:mo>)</mml:mo> <mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> to be an Ornstein-Uhlenbeck process constitutes a uniquely relevant model choice due to its Gauss-Markov property. The erroneous use of the noise term <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow> <mml:msub><mml:mi>U</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi></mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> as red noise and its consequences are discussed in two examples from the literature.