Convergence rate of the weighted conformal mean curvature flow

Abstract In this article, we study the convergence rate of the following Yamabe-type flow <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mi>R</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>ϕ</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mspace width="0.33em"/> <m:mspace width="0.1em"/> <m:mtext>in</m:mtext> <m:mspace width="0.1em"/> <m:mspace width="0.33em"/> <m:mi>M</m:mi> <m:mspace width="1em"/> <m:mspace width="0.1em"/> <m:mtext>and</m:mtext> <m:mspace width="0.1em"/> <m:mspace width="1em"/> <m:mfenced open="{" close=""> <m:mrow> <m:mtable displaystyle="true"> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:mfrac> <m:mrow> <m:mo>∂</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>∂</m:mo> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> </m:mfrac> <m:mi>g</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>2</m:mn> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mi>h</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>ϕ</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> <m:mo>−</m:mo> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mi>H</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>ϕ</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mi>g</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:mfrac> <m:mrow> <m:mo>∂</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>∂</m:mo> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> </m:mfrac> <m:mi>ϕ</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mi>m</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mi>H</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>ϕ</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> <m:mo>−</m:mo> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mi>h</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>ϕ</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>m</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mtd> </m:mtr> </m:mtable> </m:mrow> </m:mfenced> <m:mspace width="0.33em"/> <m:mspace width="0.1em"/> <m:mtext>on</m:mtext> <m:mspace width="0.1em"/> <m:mspace width="0.33em"/> <m:mo>∂</m:mo> <m:mi>M</m:mi> </m:math> {R}_{\phi \left(t)}^{m}=0\hspace{0.33em}\hspace{0.1em}\text{in}\hspace{0.1em}\hspace{0.33em}M\hspace{1em}