Universality of the zeta function in short intervals

Abstract We improve the universality theorem of the Riemann zeta-function in short intervals by establishing universality for significantly shorter intervals $$[T,T+H]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . Assuming the Riemann Hypothesis, we prove that universality in such short intervals holds for $$H=(\log T)^B$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> with an explicitly given $$B&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . Unconditionally, we show that for the same H the set of real numbers $$\tau \in [T,T+H]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> such that $$\zeta (s+i\tau )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ζ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> approximates an arbitrary given analytic function has a positive upper density.