Commutativity of the h-operator and two other operators on a real hypersurface in complex projective space

Abstract The almost contact metric structure on a real hypersurface M in complex projective space allows to define on M , for any nonnull real number k and any operator B , two tensor fields of type (1,2) denoted by $$B_F^{(k)}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> and $$B_T^{(k)}.$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> We will classify real hypersurfaces in complex projective space for which the h -operator satisfies that either $$h_F^{(k)}=0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> or $$h_T^{(k)}=0.$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math>