<i>L</i> ²-decay estimate of solutions to dissipative nonlinear Schrödinger equations in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msu

Abstract We study L 2 -decay estimates of the solutions to dissipative nonlinear Schrödinger equations in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> are considered without size-restriction on the initial data. It is noticeable that, without the so-called strong dissipative condition, but by assuming the defocus case, the estimates <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">‖</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">‖</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>ln</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> if the power of nonlinearity <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false">‖</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">‖</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> if <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> are obtained, where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . These estimates are similar to those proved by Hayashi–Li–Naumkin (2016 Adv. Math. Phys. 2016 3702738), under the strong dissipative condition.