Symmetries of various sets of polynomials

Abstract Let K be a field of characteristic 0 and $$k \ge 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> be an integer. We prove that every K -linear bijection $$f : K[X] \rightarrow K[X]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> strongly preserving the set of k -free polynomials (or the set of polynomials with a k -fold root in K ) is a constant multiple of a K -algebra automorphism of K [ X ], i.e., there are elements $$a, c \in K^{\times }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , $$b \in K$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> such that $$f(P)(X) = c P(a X + b)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . When K is a number field or $$K=\mathbb {R}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , we prove that similar statements hold when f preserves the set of polynomials with a root in K .