An algorithmic discrete gradient field for non-colliding cell-like objects and the topology of pairs of points on skeleta of simplexes

Abstract For a positive integer n and a finite simplicial complex K , we describe an algorithmic procedure constructing a maximal discrete gradient field W ( K , n ) on Abrams’ discretized configuration space $$\operatorname {DConf}(K,n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>DConf</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . Computer experimentation suggests that the field is optimal for $$n=2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and complexes K such as triangulations of surfaces. We study the field W ( K , n ) for $$n=2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and $$K=\Delta ^{m,d}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , the d -dimensional skeleton of the m -dimensional simplex. In particular, we prove that $$\operatorname {DConf}(\Delta ^{m,d},2)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>DConf</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is $$(\min \{d,m-1\}-1)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>min</mml:mo> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>}</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> -connected, has torsion-free homology and admits a minimal cell structure. We compute the Betti numbers of $$\operatorname {DConf}(\Delta ^{m,d},2)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>DConf</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and, for certain values of d , we prove that $$\operatorname {DConf}(\Delta ^{m,d},2)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>DConf</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> breaks, up to homotopy, as a wedge of (not necessarily equidimensional) spheres.