Minimal Tripotents via Quadratic Annihilators: Additive Preservers of Truncations

Abstract The contributions in this note begin with a new characterization of (positive) scalar multiples of minimal tripotents in a general $$\hbox {JB}^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mtext>JB</mml:mtext> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> -triple E , proving that a non-zero element $$a\in E$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is a positive scalar multiple of a minimal tripotent in E if, and only if, its inner quadratic annihilator (that is, the set $$\phantom {a}^{\perp _{q}}\{a\} = \{ b\in E: \{a,b,a\} =0\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mphantom> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:mphantom> <mml:msub> <mml:mo>⊥</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> ) is maximal among all inner quadratic annihilators of single elements in E . We subsequently apply this characterization to the study of surjective additive maps between atomic $$\hbox {JBW}^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mtext>JBW</mml:mtext> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> -triples preserving truncations in both directions. Assume that $$E = \bigoplus _{k\in \Gamma _1}^{\ell _{\infty }} C_k$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>⨁</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msub> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> and $$F = \bigoplus _{{j\in \Gamma _2}}^{\ell _{\infty }} \widetilde{C}_j$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>⨁</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msub> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>~</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> , are two atomic JBW $$^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mmultiscripts> <mml:mrow/> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mmultiscripts> </mml:math> -triples, where $$\{C_k\}_{k\in \Gamma _1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> and $$\{\widetilde{C}_j\}_{j\in \Gamma _2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>~</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> are two families of Cartan factors. Let $$A: E\rightarrow F$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> be a surjective additive mapping between atomic $$\hbox {JBW}^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mtext>JBW</mml:mtext> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> -triples, where E contains